Soluciones frágiles y fuertes para un problema de valor en la frontera con operador p-Laplaciano y con infinitas discontinuidades

Abstract

Consideramos el problema  (P) −∆_p u(x) = h(x)  f (u(x)) + q(x), x ∈ Ω, con u(x) = 0, x ∈ ∂Ω, donde p > 1, Ω ⊆ R^N es un dominio acotado con frontera suave, q ∈ L ^p (Ω), 1/p + 1/p′= 1, h ∈ L∞ (Ω) \ {0}. Suponemos que  f  tiene un conjunto contable de discontinuidades de salto,  D ⊆ R, y verifica | f (s)| ≤ C_1 + C_2 |s|^α, s ∈ R, donde α, C 1, C2 > 0 and 1 +α ∈ [p, p ∗], p ∗ = pN/(N − p). Puesto que I, el funcional asociado a  (P) no es Fréchet diferenciable sino localmente Lipschitz continua sobre  W ^{1, p}_0 (Ω), aplicamos las herramientas variacionales desarrolladas por Chang and Clarke. Caracterizamos una solución frágil de (P), una que verifica c.t.p  una condición que involucra una adecuada función multivaluada, como un punto crítico generalizado de   I. Dada u, una solución frágil de frail solution of (P), encontramos condiciones suficientes para que  u^ −1 (D) tenga medida cero; esto es suficiente para que u sea una solución fuerte de (P): verifica  (P) a.e. Mostramos condiciones para la existencia de extremos locales de  I  que son soluciones fuertes de (P). Finalmente,
probamos que si f verifica una condición de crecimiento que involucra al primer valor propio de  −∆ , entonces  (P) tiene una solución fuerte que globalmente minimiza.